Mathematik Alpha

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On 31.03.2020
Last modified:31.03.2020

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It can be proved, for real arguments, that these definitions coincide with elementary geometric definitions if the argument is regarded as an angle given in radians.

For real number x , the notations sin x , cos x , etc. If units of degrees are intended, the degree sign must be explicitly shown e. The six trigonometric functions can be defined as coordinate values of points on the Euclidean plane that are related to the unit circle , which is the circle of radius one centered at the origin O of this coordinate system.

The trigonometric functions cos and sin are defined, respectively, as the x - and y -coordinate values of point A. That is,. By applying the Pythagorean identity and geometric proof methods, these definitions can readily be shown to coincide with the definitions of tangent, cotangent, secant and cosecant in terms of sine and cosine, that is.

That is, the equalities. The same is true for the four other trigonometric functions. The algebraic expressions for the most important angles are as follows:.

Writing the numerators as square roots of consecutive non-negative integers, with a denominator of 2, provides an easy way to remember the values.

Such simple expressions generally do not exist for other angles which are rational multiples of a straight angle. For an angle which, measured in degrees, is a multiple of three, the sine and the cosine may be expressed in terms of square roots , see Trigonometric constants expressed in real radicals.

These values of the sine and the cosine may thus be constructed by ruler and compass. For an angle of an integer number of degrees, the sine and the cosine may be expressed in terms of square roots and the cube root of a non-real complex number.

For an angle which, measured in degrees, is a rational number , the sine and the cosine are algebraic numbers , which may be expressed in terms of n th roots.

This results from the fact that the Galois groups of the cyclotomic polynomials are cyclic. For an angle which, measured in degrees, is not a rational number, then either the angle or both the sine and the cosine are transcendental numbers.

This is a corollary of Baker's theorem , proved in The following table summarizes the simplest algebraic values of trigonometric functions.

Trigonometric functions are differentiable. This is not immediately evident from the above geometrical definitions. Moreover, the modern trend in mathematics is to build geometry from calculus rather than the converse [ citation needed ].

Therefore, except at a very elementary level, trigonometric functions are defined using the methods of calculus. For defining trigonometric functions inside calculus, there are two equivalent possibilities, either using power series or differential equations.

These definitions are equivalent, as starting from one of them, it is easy to retrieve the other as a property. However the definition through differential equations is somehow more natural, since, for example, the choice of the coefficients of the power series may appear as quite arbitrary, and the Pythagorean identity is much easier to deduce from the differential equations.

Sine and cosine are the unique differentiable functions such that. Differentiating these equations, one gets that both sine and cosine are solutions of the differential equation.

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Der Gesamtumfang des Programms beträgt rund MByte. Das Programm ist mit Delphi 5 geschrieben Lines of Code und läuft unter den Betriebssystemen Windows XP, Vista, 7, 8, 8.

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